Question

10．在直角坐標系中xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acost\\ y=2sint\end{array}\right.（t$為參數，a＞0）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-2\sqrt{2}$．
（1）設P是曲線C上的一個動點，當a=2$\sqrt{3}$時，求點P到直線l的距離的最大值；
（2）若曲線C上所有的點均在直線l的右下方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將直線l極坐標方程轉化成直角坐標，設P點坐標，利用點到直線的距離公式及輔助角公式，根據余弦函數的性質，即可求得點P到直線l的距離的最大值；
（2）由題意可知：?t∈R，acost-2sint+4＞0恒成立，利用輔助角公式，只需$\sqrt{{a}^{2}+4}$＜4，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）由$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-2\sqrt{2}$，得$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）=-2$\sqrt{2}$，
化成直角坐標方程得$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y）=-2$\sqrt{2}$，
∴直線l的方程為x-y+4=0，依題意，設P（2$\sqrt{3}$cost，2sint），
則P到直線l的距離d=$\frac{丨2\sqrt{3}cost-2sint+4丨}{\sqrt{2}}$=$\frac{丨4cos（t+\frac{π}{6}）+4丨}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$cos（t+$\frac{π}{6}$），
當t+$\frac{π}{6}$=2kπ，即t=2kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z時，d_max=4$\sqrt{2}$，
故點P到直線l的距離的最大值為4$\sqrt{2}$．
（2）因為曲線C上的所有點均在直線l的右下方，
?t∈R，acost-2sint+4＞0恒成立，即$\sqrt{{a}^{2}+4}$cos （t+φ）+4＞0（其中tanφ=$\frac{2}{a}$）恒成立，
∴$\sqrt{{a}^{2}+4}$＜4，又a＞0，解得0＜a＜2$\sqrt{3}$，
故a取值范圍（0，2$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查直線的極坐標方程與直角坐標方程的轉化，考查點到直線的距離公式，余弦函數的性質，考查不等式恒成立，考查計算能力，屬于中檔題．