Question

8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知$\sqrt{3}a=b（sinC+\sqrt{3}cosC）$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理推導(dǎo)出$\sqrt{3}cosBsinC=sinBsinC$，從而$tanB=\sqrt{3}$，由此能求出角B．
（Ⅱ）由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}=\frac{4}{{\sqrt{3}}}$，得$a=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinA$，$c=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinC$，由此利用正弦函數(shù)加法定理能求出a+c的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵$\sqrt{3}a=b（sinC+\sqrt{3}cosC）$，
∴$\sqrt{3}sinA=sinB（sinC+\sqrt{3}cosC）$$\sqrt{3}sin（B+C）=sinB（sinC+\sqrt{3}cosC）$，
∴$\sqrt{3}cosBsinC=sinBsinC$，
∵sinC＞0．
∴$\sqrt{3}cosB=sinB$，即$tanB=\sqrt{3}$…（4分）
而B∈（0，π），則$B=\frac{π}{3}$．            …（6分）
（Ⅱ） 由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}=\frac{4}{{\sqrt{3}}}$得$a=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinA$，$c=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinC$
∴$a+c=\frac{4}{{\sqrt{3}}}（sinA+sinC）=\frac{4}{{\sqrt{3}}}[sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）]$=$\frac{4}{{\sqrt{3}}}（\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA）=4sin（A+\frac{π}{6}）$…（9分）
∵$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，∴$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$
∴$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1]$
∴a+c∈（2，4]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的角的求法，考查兩邊邊長(zhǎng)和的取值范圍的求法，涉及到正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式、正弦函數(shù)加法定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．