Question

2．若實數x，y滿足x²+y²-2y=0，則$\frac{y-1}{x-2}$的取值范圍為（　　）

• A． $[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• B． $[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$
• C． $[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$
• D． $（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$

Answer 1

分析 化圓的一般方程為標準方程，求出圓心坐標和半徑，再由$\frac{y-1}{x-2}$的幾何意義，即圓上動點與動點（2，1）連線的斜率求解．

解答 解：化圓x²+y²-2y=0為x²+（y-1）²=1，
圓心坐標為（0，1），半徑為1．
$\frac{y-1}{x-2}$的幾何意義為圓上動點與動點（2，1）連線的斜率．
設過（2，1）與圓x²+（y-1）²=1相切的直線的斜率為k，
直線方程為y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
由點到直線的距離公式得$\frac{|-1-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{y-1}{x-2}$的取值范圍為[$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故選：A．

點評 本題考查直線與圓位置關系的應用，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，是中檔題．