Question

已知函數f（x）=|log₂x-m|log₂x+2log₂x-3（m∈R）．
（1）若m=1，求函數f（x）在區間[

1

4

，4]的值域；
（2）若函數y=f（x）在（0，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：（1）設log₂x=t，當x∈[

1

4

，4]時，求出t的取值范圍，考查m=1時，f（x）的單調性，求出它的值域即可；
（2）又log₂x=t，考查函數f（x）=g（t）的圖象與性質，利用f（x）在（0，+∞）上的單調性，求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）設log₂x=t，當x∈[

1

4

，4]時，t∈[-2，2]；
當m=1時，f（x）=g（t）=t|t-1|+2t-3
=

t2+t-3，t≥1 -t2+3t-3，t＜1

；
∴g（t）在[1，2]上單調遞增，在[-2，1]上也單調遞增，
且g（2）=3，g（-2）=-13，
∴f（x）的值域為[-13，3]；
（2）f（x）=g（t）=t|t-m|+2t-3
=

t2+(2-m)t-3，t≥m -t2+(m+2)t-3，t＜m

=

(t- m-2 2 )2-3-( m-2 2 )2，t≥m -(t- m+2 2 )2-3+( m+2 2 )2，t＜m

，
∵f（x）在（0，+∞）上為增函數，
∴

m-2 2 ≤m m+2 2 ≥m m2+(2-m)m-3≥-m2+(m+2)m-3

，
即

m≥-2 m≤2 2m-3≥2m-3

；
解得m∈[-2，2]．

點評：本題考查了復合函數的圖象與性質的應用問題，也考查了分段函數的應用問題，是綜合性題目．