Question

已知正三棱錐的底面邊長為

2

，各側面均為直角三角形，則它的外接球體積為（　　）

• A、

  4 3 π

  27

• B、

  2 π

  3

• C、

  3 π

  2

• D、

  4π

  3

Answer 1

考點：球的體積和表面積,球內接多面體

專題：空間位置關系與距離

分析：底面邊長為

2

，各側面均為直角三角形的正三棱錐可以看作是正方體的一個角，故此正三棱錐的外接求即此正方體的外接球，由此求出正方體的體對角線即可得到球的直徑，即可求解體積．

解答： 解：由題意知此正三棱錐的外接球即是相應的正方體的外接球，此正方體的面對角線為

2

，邊長為1．
正方體的體對角線是

1+1+1

=

3

．
故外接球的直徑是

3

，半徑是

3

2

．
故其體積是

4

3

π(

3

2

)3=

3 π

2

．
故選：C．

點評：本題考查球內接多面體，解題的關鍵是找到球的直徑與其內接多面體的量之間的關系，由此關系求出球的半徑進而得到其體積．