Question

已知點A，B的坐標分別是（0，-1），（0，1），直線AM，BM相交于點M，且直線AM，BM的斜率之積為-

1

2

（1）求點M的軌跡C的方程
（2）過D（2，0）的直線l與軌跡C有兩個不同的交點時，求l的斜率的取值范圍；
（3）若過D（2，0）的直線l與（1）中的軌跡C交于不同的E、F（E在D、F之間），求△ODE與△ODF的面積之比的取值范圍（O為坐標原點）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）設M（x，y），由已知得k_AM•k_BM=-

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

，由此能求出動點M的軌跡方程．
（2）由題意知直線l的斜率存在，設l的方程為y=k（x-2），聯立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-8k²x+（8k²-2）=0，由此利用根的判別式能求出l的斜率的取值范圍．
（3）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），令λ=

S△ODE

S△ODF

，則x₁-2=λ（x₂-2），且0＜λ＜1．由此利用韋達定理結合已知條件能求出△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

解答： 解：（1）設M（x，y），∵點A，B的坐標分別是（0，-1），（0，1），直線AM，BM的斜率之積為-

1

2

∴k_AM•k_BM=-

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

，
整理得動點M的軌跡方程為

x2

2

+y2=1（x≠0）．
（2）由題意知直線l的斜率存在，設l的方程為y=k（x-2），①
聯立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-8k²x+（8k²-2）=0，
∵過D（2，0）的直線l與軌跡C有兩個不同的交點，
∴△=（-8k²）²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，解得0＜k²＜

1

2

．
∴-

2

2

＜k＜0或0＜k＜

2

2

，
∴l的斜率的取值范圍是（-

2

2

，0）∪（0，

2

2

）．
（3）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
則

x1+x2= 8k2 2k2+1 x1x2= 8k2-2 2k2+1

，…②
令λ=

S△ODE

S△ODF

，則λ=

|DE|

|DF|

，即|DE|=λ|DF|，
∴x₁-2=λ（x₂-2），且0＜λ＜1．
由②得

(x1-2)+(x2-2)= -4 2k2+1 (x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4= 2 2k2+1

，
∴

λ

(1+λ)2

=

2k2+1

8

，即k²=

4λ

2k2+1

-

1

2

，
∵0＜k²＜

1

2

，且k²≠

1

4

，∴0＜

4λ

(1+λ)2

-

1

2

＜

1

2

，且

4λ

(1+λ)2

-

1

2

≠

1

4

．
解得3-2

2

＜λ＜3+2

2

，且λ≠

1

3

，
∵0＜λ＜1，∴3-2

2

＜λ＜1且λ≠

1

3

．
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3-2

2

，

1

3

）∪（

1

3

，1）．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，考查△ODE與△ODF的面積之比的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．