Question

已知函數f（x）=2

3

sinxcosx-2cos²x+1．
（Ⅰ）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的最大值；
（Ⅱ）若f（α）=

8

5

（α∈[0，

π

6

]），求cos2α的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,二倍角的余弦

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據已知，化簡得到f（x）=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，然后，結合x∈[0，

π

2

]，求解其最大值；
（2）根據f(α)=

8

5

，得到sin(2α-

π

6

)=

4

5

，然后結合α∈[0，

π

6

]，得到(2α-

π

6

)∈[-

π

6

，

π

2

]，從而得到cos(2α-

π

6

)=

3

5

，從而得到該值．

解答： 解：根據已知得f(x)=2

3

sinxcosx-2cos2x+1=

3

sin2x-2×

1+2cos2x

2

+1
=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．
（Ⅰ）因為x∈[0，

π

2

]，
所以(2x-

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，
所以當x=

π

3

時，f（x）_max=2．
（Ⅱ）由f(α)=

8

5

，知sin(2α-

π

6

)=

4

5

，
因為α∈[0，

π

6

]，
所以(2α-

π

6

)∈[-

π

6

，

π

2

]，
因此cos(2α-

π

6

)=

3

5

，
所以cos2α=cos[(2α-

π

6

)+

π

6

]=cos(2α-

π

6

)cos

π

6

-sin(2α-

π

6

)sin

π

6

=

3

5

×

3

2

-

4

5

×

1

2

=

3 3 -4

10

．

點評：本題重點考查了三角恒等變換公式、二倍角公式等知識，屬于中檔題．