Question

已知函數f（x）=x³-bx²+cx（b，c∈R），其圖象記為曲線C．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值-1，求b，c的值；
（Ⅱ）若f（x）有三個不同的零點，分別為x₁，x₂，x₃，且x₃＞x₂＞x₁=0，過點O（x₁，f（x₁））作曲線C的切線，切點為A（x₀，f（x₀））（點A異于點O）．
（i）證明：x₀=

x2+x3

2

（ii）若三個零點均屬于區間[0，2），求

f(x0)

x0

的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的導數，根據函數極值和導數只記得關系建立條件關系即可求b，c的值；
（Ⅱ）求函數的導數，根據導數的幾何意義轉化為一元二次方程，以及線性規劃的知識進行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數的導數f′（x）=3x²-2bx+c，
若f（x）在x=1處取得極值-1，
則

f′(1)=3-2b+c=0 f(1)=1-b+c=-1

，解得b=1，c=-1；
經檢驗知此時函數f（x）滿足條件．
（Ⅱ）（i）證明：切線斜率k=f′（x₀）=3x₀²-2bx₀+c，
則切線方程為y-f（x₀）=（3x₀²-2bx₀+c）（x-x₀），
化簡得y=（3x₀²-2bx₀+c）x-2x₀³+bx₀²，
由于切線過原點，則-2x₀³+bx₀²=0，
解得x₀=

b

2

，
∵若f（x）有三個不同的零點，分別為0，x₂，x₃，
則x₂，x₃是方程x²-bx+c=0的兩個不同的根，由韋達定理得x₂+x₃=b，
即x₀=

x2+x3

2

成立．
（ii）由（i）知，x₂，x₃是方程x²-bx+c=0的兩個不同的根，
令g（x）=x²-bx+c，由x₂，x₃屬于區間[0，2），
知g（x）的圖象與x軸在（0，2）內有兩個不同的交點，
則

△＞0 0＜ b 2 ＜2 g(0)＞0 g(2)＞0

，即

c＜ b2 4 0＜b＜4 c＞0 4-2b+c＞0

，
上述不等式組對應的點（b，c）形成的平面區域如圖陰影部分表示：
又

f(x0)

x0

=

f( b 2 )

b 2

=

4c-b2

4

，
令目標函數z=4c-b²，
則c=

b2

4

+

z

4

，
于是問題轉化為求拋物線c=

b2

4

+

z

4

的圖象如y軸截距的取值范圍，
結合圖象，截距分別在曲線段OM，N（2，0）處去上，下界，
則z∈（-4，0），
因此

f(x0)

x0

∈（-1，0）．

點評：本題主要考查函數的零點，導數的幾何意義，導數的應用線性規劃鄧基礎知識，考查運算能力和推理論證能力，綜合性較強，難度較大．