Question

16．如圖①，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點，現在沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三點重合，重合后的點記作P，如圖②所示．
（1）求證：PD⊥EF；
（2）求二面角D-EF-P的平面角的正切值．
（3）求點P到平面DEF的距離

Answer 1

分析 （1）推導出DM⊥EF，PM⊥EF，從而EF⊥平面PDM，由此能證明EF⊥PD．
（2）由DM⊥EF，PM⊥EF，知∠PMD是二面角D-EF-P的平面角，由此能求出二面角D-EF-P的平面角的正切值
（3）由V_P-DEF=V_D-PEF，能求出點P到平面DEF的距離．

解答 證明：（1）∵DE=DF=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，EF∥AC，
∴BD⊥EF，M是EF的中點，∴DM⊥EF，
∵折疊前AE=CF，∴折疊后PE=PF，
∴PM⊥EF，
∵DM∩PM=M，∴EF⊥平面PDM，
∵PD?平面PDM，∴EF⊥PD．
解：（2）∵DM⊥EF，PM⊥EF，∴∠PMD是二面角D-EF-P的平面角，
∵PD=AD=2，PM=BM=$\frac{1}{4}BD$=$\frac{1}{4}\sqrt{4+4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，DM=$\frac{3}{4}BD=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠PMD=$\frac{D{M}^{2}+P{M}^{2}-P{D}^{2}}{2DM•PM}$=$\frac{\frac{18}{4}+\frac{2}{4}-4}{2×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan$∠PMD=2\sqrt{2}$．
∴二面角D-EF-P的平面角的正切值為2$\sqrt{2}$．
（3）∵PD⊥PE，PD⊥PF，PE∩PF=P，
∴PD⊥平面PEF，∴P到平面PEF的距離PD=2，
∵PE=PF=1，EF=$\sqrt{2}$，∴PE²+PF²=EF²，∴PE⊥PF，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
又${S}_{△DEF}=\frac{1}{2}×EF×DM$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
V_P-DEF=V_D-PEF，
設點P到平面DEF的距離，
則$\frac{1}{2}×d×{S}_{△DEF}$=$\frac{1}{2}×PD×{S}_{△PEF}$，即$\frac{1}{2}×d×\frac{3}{2}=\frac{1}{2}×2×\frac{1}{2}$，
解得d=$\frac{2}{3}$．
∴點P到平面DEF的距離d=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．