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7.已知函數h(x)=x2+ax+b在(0,1)上有兩個不同的零點,記min{m,n}=$\left\{\begin{array}{l}m({m≤n})\\ n({m>n})\end{array}$,則min{h(0),h(1)}的取值范圍為(0,$\frac{1}{4}$).

分析 由題意可得,$\left\{\begin{array}{l}{f(0)=b>0}\\{f(1)=1+a+b>0}\\{0<-\frac{a}{2}<1}\\{f(-\frac{a}{2})=\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}+b<0}\end{array}\right.$,從而作出平面區域,而min{f(0),f(1)}=$\left\{\begin{array}{l}{b,-1≤a<0}\\{1+a+b,-2<a<-1}\end{array}\right.$,從而分類討論求取值范圍即可

解答 解:∵函數f(x)=x2+ax+b在(0,1)上有兩個零點,
∴$\left\{\begin{array}{l}{f(0)=b>0}\\{f(1)=1+a+b>0}\\{0<-\frac{a}{2}<1}\\{f(-\frac{a}{2})=\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}+b<0}\end{array}\right.$,
由題意作平面區域如下,

∵f(0)=b,f(1)=1+a+b,
∴min{f(0),f(1)}=$\left\{\begin{array}{l}{b,-1≤a<0}\\{1+a+b,-2<a<-1}\end{array}\right.$,
結合圖象可知,D(-1,$\frac{1}{4}$),
當-1≤a<0時,0<b<$\frac{1}{4}$,
當-2<a<-1時,0<1+a+b<$\frac{1}{4}$,
綜上所述,min{f(0),f(1)}的取值范圍是(0,$\frac{1}{4}$);
故答案為:(0,$\frac{1}{4}$).

點評 本題考查了線性規劃的變形應用及數形結合、分類討論的思想應用,同時考查了函數的零點與函數的圖象的關系應用.

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