Question

17．已知f（x）=（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x³（a＞0，且a≠1）．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范圍，使f（x）＞0在定義域上恒成立．

Answer 1

分析 （1）依題意，可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷出f（-x）=f（x），從而可知f（x）的奇偶性；
（2）由（1）知f（x）為偶函數(shù)，故只需討論x＞0時(shí)的情況，依題意，當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）＞0恒成立，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）由于ax-1≠0，則ax≠1，得x≠0，
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}．
對于定義域內(nèi)任意x，有
f（-x）=（$\frac{1}{{a}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）（-x）³=（$\frac{{a}^{x}}{1{-a}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）•（-x）³
=（$\frac{{-a}^{x}}{1{-a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$）•x³=（$\frac{{（1-a}^{x}）-1}{1{-a}^{x}}$-$\frac{1}{2}$）•x³=（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x³=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）由（1）知f（x）為偶函數(shù)，∴只需討論x＞0時(shí)的情況．
當(dāng)x＞0時(shí)，要使f（x）＞0，即（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x³＞0，
即$\frac{{a}^{x}+1}{{2（a}^{x}-1）}$＞0，即a^x-1＞0，a^x＞1．
又∵x＞0，∴a＞1．
因此a＞1時(shí)f（x）＞0．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)奇偶性的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理運(yùn)算能力，判斷f（x）是偶函數(shù)是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．