Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0）．若雙曲線上存在點P，使PF₁=2PF₂，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（1，3]．

Answer 1

分析 可用三角形的兩邊和大于第三邊，及兩邊差小于第三邊，但要注意前者可以取到等號成立，因為可以三點一線．也可用焦半徑公式確定a與c的關系．

解答 解：設|PF₁|=x，|PF₂|=y，則有$\left\{\begin{array}{l}{x=2y}\\{x-y=2a}\end{array}\right.$，
解得x=4a，y=2a，
∵在△PF₁F₂中，x+y＞2c，即4a+2a＞2c，4a-2a＜2c，
∴1$＜\frac{c}{a}$＜3，
又因為當三點一線時，4a+2a=2c，
綜合得離心率的范圍是（1，3]，
故答案為（1，3]．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了關于離心率范圍的確定．可以在平時的教學過程中總結常見的有關離心率的求法及范圍的求法．