Question

9．在△ABC中，已知sinA=$\frac{2}{3}$，cosB=$\frac{1}{2}$，則 cosC的值為$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數的基本關系求出cosA，sinB，再由cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB 求出結果．

解答 解：∵△ABC中，sinA=$\frac{2}{3}$，cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=60°，
假設A為鈍角，sinA=$\frac{2}{3}$＞sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則A＞120°，這與三角形的內角和為180°相矛盾，
∴A為銳角
∴cosA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當cosA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$時，cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和差的余弦公式的應用，屬于中檔題．