Question

19．已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，其中a＞0．
（1）若方程f（x）+2x=0有兩個實根x₁=1，x₂=3，且方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，求f（x）的解析式； 
（2）若f（x）的圖象與x軸交于A（-3，0）B（m，0）兩點，且當-1≤x≤0時，f（x）≤0恒成立．求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設f（x）+2x=a（x-1）（x-3），求出函數的解析式，由方程f（x）+6a=0，方程有兩個相等的根，求出a，然后求解f（x）的解析式．
（2）利用x₁=-3，x₂=m是方程f（x）=0的兩個根．轉化當-1≤x≤0時，f（x）≤0恒成立．推出不等式組求解即可．

解答 解：（1）據題意，設f（x）+2x=a（x-1）（x-3），
f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a，①
由方程f（x）+6a=0可得ax²-（2+4a）x+9a=0  ②
因為方程②有兩個相等的根，所以△=[-（2+4a）]²-4a•9a=0，
即5a²-4a-1=0，解得a=1或a=-$\frac{1}{5}$（舍去）
將a=1代入①得f（x）的解析式f（x）=x²-6x+3…（6分）
（2）據題意知，x₁=-3，x₂=m是方程f（x）=0的兩個根．
則f（x）=a（x+3）（x-m），
又a＞0，
要使得當-1≤x≤0時，f（x）≤0恒成立．
當且僅當$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（0）≤0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{2m≥-2}\\{-3m≤0}\end{array}\right.$，
∴m≥0． …（12分）

點評 本題考查二次函數的簡單性質以及函數恒成立的應用，考查轉化思想以及計算能力．