Question

7．已知點A（5，2$\sqrt{2}$），F（1，0），動點P在拋物線y²=4x上運動，則|PA|²+|PF|²的最小值為18$.\end{array}$．

Answer 1

分析 設P（x，y），表示出|PA|²+|PF|²，利用導數求最值．

解答 解：設P（x，y），則
t=|PA|²+|PF|²=（x-5）²+（y-2$\sqrt{2}$）²+（x-1）²+y²=（x²-10x+25）+（4x-4$\sqrt{2}$$•2\sqrt{x}$+8）+（x²-2x+1）+4x
=2x²-4x+34-4$\sqrt{2}$$•2\sqrt{x}$，
∴t′=4x-4-$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$，
函數在（0，2）上單調遞減，（2，+∞）上單調遞增，
∴x=2時，函數取得最小值18，
故答案為：18．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查導數知識的運用，正確求出|PA|²+|PF|²是關鍵．