Question

12．關于函數f（x）=sinx（sinx-cosx）的有關性質，下列敘述正確的是（　　）

• A． f（x）的最小正周期為2π
• B． f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]內單調遞增
• C． f（x）的圖象關于（-$\frac{π}{2}$，0）對稱
• D． f（x）的圖象關于x=$\frac{π}{8}$對稱

Answer 1

分析 利用二倍角公式降冪，再由輔助角公式化積，然后逐一核對四個選項得答案．

解答 解：∵f（x）=sinx（sinx-cosx）=$si{n}^{2}x-sinxcosx=\frac{1}{2}（1-cos2x-sin2x）$
=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$．
∴f（x）的最小正周期為π，A錯誤；
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{5π}{8}+kπ$，k∈Z，可知f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]內不單調，故B錯誤；
∵f（$-\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（-π+\frac{π}{4}）=1$，∴f（x）的圖象不關于（-$\frac{π}{2}$，0）對稱，故C錯誤；
∵f（$\frac{π}{8}$）=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴f（x）的圖象關于x=$\frac{π}{8}$對稱，故D正確．
故選：D．

點評 本題主要考查三角函數式的化簡、正弦型函數的圖象與性質，是中檔題．