Question

2．如果函數f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在區間（-∞，0]上是減函數，那么實數a的取值范圍是（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$
• B． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}]∪$（1，+∞）
• C． $[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 利用換元法將函數轉化為一元二次函數形式，利用符合函數單調性之間的關系即可得到結論．

解答 解：設t=a^x，當x≥0時，
則函數f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠0）等價為：
y=g（t）=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t，
對稱軸t=$\frac{{3a}^{2}+1}{2}$，
若a＞1，則函數t=a^x，為增函數，
當x≤0時，0＜t≤1，
若函數f（x）在區間（-∞，0]上是減函數，
則等價為函數g（t）在（0，1]上為減函數，
則滿足$\frac{{3a}^{2}+1}{2}$≥1，即3a²≥1，即a²≥$\frac{1}{3}$，解得a≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$或a≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵a＞1，∴此時a＞1成立，
若0＜a＜1，則當x≤0時，則t≥1，此時函數t=a^x單調遞減，
若函數f（x）在區間（-∞，0]上是減函數，
則g（t）在t≥1單調遞增，
即對稱軸t=$\frac{{3a}^{2}+1}{2}$≤1，即3a²≤1，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜a＜1，∴0＜a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
綜上0＜a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$或a＞1．
故選：B．

點評 本題主要考查符合函數單調性的應用，根據同增異減的原則是解決本題的根據，本題還使用了換元法，注意對a要進行分類討論．