Question

11．（1）求函數f（x）=$\sqrt{{x^2}+x-1}$+$\frac{1}{{{x^2}-2x+1}}$的定義域；
（2）求函數f（x）=$\frac{{\sqrt{|{x-2}|-1}}}{（x-3）（x-1）}$的定義域；
（3）已知函數y=f（x²-1）定義域是[-1，3]，則y=f（2x+1）的定義域．

Answer 1

分析 （1）（2）分別由根式內部的代數式大于等于0，分式的分母不為0求解不等式組可得答案；
（3）由函數y=f（x²-1）定義域求得f（x）的定義域，再由2x+1在f（x）的定義域內求得x的范圍得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-1≥0}\\{{x}^{2}-2x+1≠0}\end{array}\right.$，解得$x≤\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，或$x≥\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$且x≠1．
∴函數f（x）=$\sqrt{{x^2}+x-1}$+$\frac{1}{{{x^2}-2x+1}}$的定義域為（-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$]∪[$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，1）∪（1，+∞）；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{|x-2|-1≥0}\\{（x-3）（x-1）≠0}\end{array}\right.$，解得x＜1或x＞3．
∴函數f（x）=$\frac{{\sqrt{|{x-2}|-1}}}{（x-3）（x-1）}$的定義域為（-∞，1）∪（3，+∞）；
（3）由題意，-1≤x≤3，∴，2≤x-1≤2，故f（x）的定義域為[-2，2]，
∴令-2≤2x+1≤2，解得$-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}$，
故y=f（2x+1）的定義域是[-$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查函數的定義域及其求法，考查不等式組的解法，是基礎的計算題．