Question

3．如圖，AB是圓O的一條切線，切點為B，直線ABD，CFD，CGE都是圓O的割線，已知AC=AB．
（1）若CG=1，CD=4，求$\frac{DE}{GF}$的值；
（2）求證：FG∥AC．

Answer 1

分析 （1）根據圓內接四邊形的性質，證出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此$\frac{DE}{GF}=\frac{CD}{CG}$；
（2）根據切割線定理證出AB²=AD•AE，所以AC²=AD•AE，證$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，結合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根據圓內接四邊形的性質得∠ADC=∠EGF，從而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．

解答 （1）解：由題意可得：G，E，D，F四點共圓，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED，
∴△CGF～△CDE，
∴$\frac{DE}{GF}=\frac{CD}{CG}$，
又∵CG=1，CD=4，∴$\frac{DE}{FG}=4$
（2）證明：因為AB為切線，AE為割線，AB²=AD•AE，
又因為AC=AB，所以AD•AE=AC²，
所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，
又因為∠EAC=∠DAC，所以△ADC～△ACE，所以∠ADC=∠ACE，
又因為∠ADC=∠EGF，所以∠EGF=∠ACE，所以FG∥AC

點評 本題給出圓的切線與割線，求證直線互相平行，并求線段的比值．著重考查了切割線定理、圓內接四邊形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，屬于中檔題．