Question

13．如圖，M、N、P分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD上的中點，求證：
（1）AC∥平面MNP，
（2）平面MNP與平面ACD的交線與AC平行．

Answer 1

分析 （1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)的一條直線平面即可．M、N是AB，BC上的中點，利用中位線可得AC∥MN，MN在平面MNP內(nèi)，可得AC∥平面MNP，
（2）找到交線，利用三角形的中位線性質(zhì)證明即可．在AD上取中點E，M、N、P分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD上的中點，故得M、N、P、E是平行四邊形．平面MNP與平面ACD的交線EP，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)可得EP∥AC．

解答 解：（1）證明：M、N是AB，BC上的中點，
在三角形ABC中，MN是三角形ABC的中位線，
∴MN∥AC
∵MN?平面MNP，AC?平面MNP
∴AC∥平面MNP．
（2）證明：在AD上取中點E，則PE∥AC，又由（1）知AC∥MN，
∴PE∥MN，
故PE?平面MNP，
又PE?平面ACD，
∴PE為平面MNP與平面ACD的交線，
由PE∥AC可得，
平面MNP與平面ACD的交線∥AC．

點評 本題主要考查平行四邊形中的平行關系和線面平行的判定寶理，同時培養(yǎng)學生空間和平面的轉化化歸能力