Question

8．如圖，邊長為2的正方形ABCD的頂點A，B分別在兩條互相垂直的射線OP，OQ上滑動，則$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{CD}$的最大值為8．

Answer 1

分析 令∠OAB=θ，由邊長為2的正方形ABCD的頂點A、B分別在x軸、y軸正半軸上，可得出D，C的坐標，由此可以表示出兩個向量，算出它們的內積即可

解答 解：如圖令∠OAB=θ，由于AB=2，故OA=2cosθ，OB=2sinθ，
如圖∠DAX=$\frac{π}{2}$-θ，AD=2，故x_D=2cosθ+2cos（$\frac{π}{2}$-θ）=2cosθ+2sinθ，y_D=2sin（$\frac{π}{2}$-θ）=2cosθ，
故$\overrightarrow{OD}$=（2cosθ+2sinθ，2cosθ），
同理可求得C（2sinθ，2cosθ+2sinθ），即$\overrightarrow{OC}$=（2sinθ，2cosθ+2sinθ），
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{CD}$=（2cosθ+2sinθ，2cosθ）•（2sinθ，2cosθ+2sinθ）=4（1+sin2θ），
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{CD}$的最大值是8，
故答案是：8．

點評 本題考查向量在幾何中的應用，設角引入坐標是解題的關鍵，由于向量的運算與坐標關系密切，所以在研究此類題時應該想到設角來表示點的坐標．