Question

4．已知函數f（x）=e^x+ax，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=1．
（1）求實數a的值及函數f（x）的單調區間；
（2）若b＞0，f（x）≥b（b-1）x+c，求b²c的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用導數與切線的關系，求參數值，再利用導數求函數單調區間；（2）把f（x）≥0恒成立，轉化為f（x）min≥0．得到b²c的表達式，再利用函數思想求其最值．

解答 解：（1）函數f（x）≥0的定義域為R，因為f′（x）=e^x+a，由已知得f′（0）=1+a=0，∴a=-1．
當x＞0時，f′（x）=e^x-1＞0，當x＜0時，f′（x）=e^x-1＜0，所以函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），單調遞減區間為（-∞，0）．
（2）不等式f（x）≥b（b-1）x+c⇒c≤e^x-bx+[-（b-1）²]x⇒c≤e^x-bx，令g（x）=e^x-bx，g′（x）=e^x-b，由g′（x）＞0得x＞lnb，由g′（x）＜0得＜lnb'
所以函數g（x）在（-∞，lnb）上為減函數，在（lnb，+∞）上為增函數，所以令g（x）min=g（lnb）=b-blnb，∴c≤b-blnb，
∴b²c≤b³-b³lnb，令h（b）=b³-b³lnb，則h′（b）=b²（2--3lnb），由h′（b）＞0得0＜b＜${e}^{\frac{2}{3}}$，由h′（b）＜0得b＞${e}^{\frac{2}{3}}$，所以函數h（b）在（0，${e}^{\frac{2}{3}}$）上為增函數，在（${e}^{\frac{2}{3}}$．+∞）上為減函數，所以h（b）的最大值為h（${e}^{\frac{2}{3}}$）=$\frac{1}{3}$e²，此時b=e${\;}^{\frac{2}{3}}$，c=$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{2}{3}}$，所以b²c的最大值為$\frac{1}{3}$e²．

點評 本題考查了導函數的幾何意義，及恒成立問題轉化為求函數值域為問題，對學生的思維強度比較高，是一種新穎題．