Question

17．設F₁，F₂分別是橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的左、右焦點．
（1）若M是該橢圓上的一點，且∠F₁MF₂=120°，求△F₁MF₂的面積；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由由橢圓標準方程：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1，a=2，b=1，c²=a²-b²=3，求得F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），丨F₁F₂丨=2$\sqrt{3}$，由橢圓的定義可知：丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a=4，由余弦定理可知：丨F₁F₂丨=丨MF₁丨²+丨MF₂丨²-2丨MF₁丨•丨MF₂丨cos∠F₁MF₂，代入即可求得丨MF₁丨•丨MF₂丨=4，由三角形的面積公式可知S=$\frac{1}{2}$×丨MF₁丨•丨MF₂丨×sin∠F₁MF₂，即可求得△F₁MF₂的面積；
（2）由（1）可知F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），設P （x，y），（-2≤x≤2），則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），根據向量數量積的坐標表示，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（3x²-8），由x的取值范圍，當x=0，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$有最小值-2； 當x=±2，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$有最大值1．

解答 解：（1）由橢圓標準方程：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1，a=2，b=1，c²=a²-b²=3，
∴F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
∴丨F₁F₂丨=2$\sqrt{3}$，又M是該橢圓上的一點，
∴丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a=4，
∵∠F₁MF₂=120°，
∴在△F₁MF₂中，由余弦定理可知：丨F₁F₂丨=丨MF₁丨²+丨MF₂丨²-2丨MF₁丨•丨MF₂丨cos∠F₁MF₂，
∴（2$\sqrt{3}$）²=4-丨MF₁丨•丨MF₂丨，解得：丨MF₁丨•丨MF₂丨=4，
∴△F₁MF₂的面積為S=$\frac{1}{2}$×丨MF₁丨•丨MF₂丨×sin∠F₁MF₂=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
△F₁MF₂的面積$\sqrt{3}$；
（2）設P （x，y），（-2≤x≤2），$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3=x²+1-$\frac{{x}^{2}}{4}$-3=$\frac{1}{4}$（3x²-8），
∵-2≤x≤2，
∴當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$有最小值-2；
當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$有最大值1．

點評 本題考查橢圓的焦點三角形的面積公式，考查余弦定理的應用，向量數量積的坐標表示，考查二次函數的性質，考查計算能力，屬于中檔題．