Question

16．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ex²+mx+1，g（x）=$\frac{{lnx+{2^{-1}}}}{{{e^{2x}}}}$．
（1）函數f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線（1-2e）x-y+4=0平行，求函數f（x）的單調區間；
（2）設函數f（x）的導函數為f′（x），對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），若$\frac{{g（{x_1}）-{f^'}（{x_2}）}}{{{e^{x_1}}-1}}$＜0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，求得切線的斜率，解方程可得m=0，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間；
（2）由題意可得g（x₁）的最大值＜f′（x₂）的最小值，求出g（x）的導數，求得單調區間，可得最大值，求出f（x）的導數，配方可得f′（x）的最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2ex+m，∵f′（1）=1-2e+m=1-2e，∴m=0
即f′（x）=x²-2ex=x（x-2e），令f′（x）≥0，解得x≥2e或x≤0
所以函數f（x）的單調增區間為[2e，+∞），（-∞，0]，單調減區間為（0，2e）．
（2）$\frac{{g（{x_1}）-{f^'}（{x_2}）}}{{{e^{x_1}}-1}}＜0$，即$g（{x_1}）＜{f^'}（{x_2}）$恒成立，故$g{（x）_{max}}＜{f^'}{（x）_{min}}$
∵$g（x）=\frac{{lnx+{2^{-1}}}}{{{e^{2x}}}}$，${g^'}（x）=\frac{{\frac{1}{x}{e^{2x}}-2（lnx+{2^{-1}}）{e^{2x}}}}{{{{（{e^{2x}}）}^2}}}=\frac{{\frac{1}{x}-2lnx-1}}{{{e^{2x}}}}$
有g′（1）=0，且x∈（0，1），g′（x）＞0，x∈（1，+∞），g′（x）＜0
∴g（x）在x=1處取極大值即最大值，$g{（x）_{max}}=g（1）=\frac{1}{{2{e^2}}}$f′（x）=x²-2ex+m=（x-e）²+m-e²，${f^'}{（x）_{min}}=m-{e^2}$．
∵$g（{x_1}）＜{f^'}（{x_2}）$恒成立，$\frac{1}{{2{e^2}}}＜m-{e^2}$，故$m＞{e^2}+\frac{1}{{2{e^2}}}$．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意轉化為求函數的最值問題，屬于中檔題．