Question

8．已知定義在R上的可導函數f（x），當x∈（1，+∞）時，（x-1）f′（x）-f（x）＞0恒成立，若a=f（2），b=$\frac{1}{2}$f（3），c=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$f（3），則a，b，c的大小關系為（　�。�

• A． c＜a＜b
• B． a＜b＜c
• C． b＜a＜c
• D． a＜c＜b

Answer 1

分析 由題意，構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$，利用已知判斷其單調性，利用單調性得到所求．

解答 解：由題意，構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$，所以g'（x）=$\frac{（x-1）f'（x）-f（x）}{（x-1）^{2}}$，因為當x∈（1，+∞）時，（x-1）f′（x）-f（x）＞0恒成立，
所以g'（x）＞0在x∈（1，+∞）恒成立，所以函數g（x）在x∈（1，+∞）為增函數，又$\sqrt{3}$＜2＜3，
所以g（$\sqrt{3}$）＜g（2）＜g（3）即$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$f（$\sqrt{3}$）＜f（2）＜$\frac{1}{2}$f（3）；所以c＜a＜b；
故選A．

點評 本題考查了構造函數的思想以及利用函數的大小判斷函數值的大��；屬于中檔題．