Question

18．過平面區域$\left\{\begin{array}{l}{4x-y+3\sqrt{2}≥0}\\{y+\sqrt{2}≥0}\\{x+y+\sqrt{2}≤0}\end{array}\right.$內一點P作圓O：x²+y²=1的兩條切線，切點分別為A、B，記∠APB=α，則α的最小值為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 先依據不等式組$\left\{\begin{array}{l}{4x-y+3\sqrt{2}≥0}\\{y+\sqrt{2}≥0}\\{x+y+\sqrt{2}≤0}\end{array}\right.$結合二元一次不等式（組）與平面區域的關系畫出其表示的平面區域，再利用圓的方程畫出圖形，確定α最小時點P的位置，最后利用二倍角公式計算即可

解答 解：不等式組表示的平面區域如圖，當P離圓O最遠時α最小，
此時點P坐標為：（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
記∠APO=β，則α=2β，
則sinβ=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{1}{2}$，
則cosα=cos2β=1-2sin²β
=1-2×（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
所以α的最小值為$\frac{π}{3}$；
故選：B

點評 本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．借助于平面區域特性，用幾何方法處理代數問題，體現了數形結合思想、化歸思想．