Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．
（1）證明：AC⊥PB；
（2）若PD=3，AD=2，求異面直線PB與AD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）線線垂直轉化為線面垂直來證明．PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AC，BD⊥AC，又PD∩BD=D，可得AC⊥平面PBD．可證AC⊥PB；
（2）通過ABCD是正方形找到AD的平行線BC，BC與直線PB所成角，就是異面直線PB與AD所成角．

解答 （1）證明：連接BD．
∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC；
∵底面ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，又PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，
∴AC⊥PB．
解：（2）PD⊥平面ABCD，△PDB是直角三角形；
在Rt△PDB中，$PB={3^2}+{（2\sqrt{2}）^2}=\sqrt{17}$．
∴PD⊥BC，又BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥PC．
∵BC∥AD，
∴∠PBC即為異面直線PB與AD所成的角，
∴$cos∠PBC=\frac{BC}{PB}=\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$．

點評 本題考查線線垂直的證明轉化為線面垂直證明，同時考查了兩條異面直線所成角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．