Question

1．（1）已知p：x²-6x+5≤0，q：（x-m+1）•（x-m-1）≤0，若?p是?q的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．
（2）已知a＞0，設命題p：函數y=a^x在R上單調遞減，q：設函數y=$\left\{\begin{array}{l}2x-2a，（x≥2a）\\ 2a，（x＜2a）\end{array}$函數y＞1恒成立，若p∧q為假，p∨q為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若?p是?q的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，即[m-1，m+1]⊆[1，5]，即$\left\{\begin{array}{l}m-1≥1\\ m+1≤5\end{array}\right.$，解得：實數m的取值范圍．
（2）若p∧q為假，p∨q為真，則兩個命題一真一假，進而可得a的取值范圍．

解答 解：（1）若命題p：x²-6x+5≤0為真，則x∈[1，5]；
若命題q：（x-m+1）•（x-m-1）≤0真，則x∈[m-1，m+1]，
若?p是?q的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，
即[m-1，m+1]⊆[1，5]，
即$\left\{\begin{array}{l}m-1≥1\\ m+1≤5\end{array}\right.$，
解得：m∈[2，4]；
（2）a＞0時，
若命題p：函數y=a^x在R上單調遞減為真，則a∈（0，1），
若命題q：函數y＞1恒成立，則2a＞1，即a∈（$\frac{1}{2}$，+∞）
若p∧q為假，p∨q為真，則兩個命題一真一假，
即$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ 0＜a≤\frac{1}{2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\ a＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得：a∈（0，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，充要條件，二次不等式的解法，指數函數的單調性，函數恒成立等知識點，難度中檔．