Question

11．已知復數$ω=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$
（1）分別計算ω² 和$\frac{1}{1+ω}$的值；
（2）在復平面內，復數ω對應的向量為$\overrightarrow{OA}$，復數ω²對應的向量為$\overrightarrow{OB}$．求向量$\overrightarrow{AB}$對應的復數z及復數z的模．

Answer 1

分析 （1）利用復數的運算法則、共軛復數的定義即可得出．
（2）利用復數的幾何意義、模的計算公式即可得出．

解答 解：（1）ω²=$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}$=$\frac{1}{4}-\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i=-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
∴$\frac{1}{1+ω}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}{（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）（\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$i．
（2）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，
ω²-ω=-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$i-$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=$\sqrt{3}$i，
向量$\overrightarrow{AB}$對應的復數z=$\sqrt{3}$i，|z|=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了復數的運算法則、共軛復數的定義、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．