Question

13．一臺儀器每啟動一次都隨機地出現一個5位的二進制數（例如：若a₁=a₃=a₅=1，a₂=a₄=0，則A=10101，等等），其中二進制數A的各位數字中，已知a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出現0的概率為$\frac{1}{3}$，出現1的概率為$\frac{2}{3}$．記X=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，現在儀器啟動一次．
（Ⅰ）求X=3的概率P（X=3）；
（Ⅱ）求X的數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當X=3時，a₁=1，可得a₂+a₃+a₄+a₅=2，a_k（k=2，3，4，5）中恰有2個取0，有2個取1，即可得出．
（Ⅱ）X可取值是1，2，3，4，5，設Y=X-1，則Y可取值是0，1，2，3，4，因此Y～B$（4，\frac{2}{3}）$，即可得出E（Y），
或直角計算．

解答 解：（Ⅰ）當X=3時，∵a₁=1，∴a₂+a₃+a₄+a₅=2，a_k（k=2，3，4，5）中恰有2個取0，有2個取1，
因此$P（X=3）=C_4^2{（\frac{1}{3}）^2}{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{8}{27}$．
（Ⅱ）X可取值是1，2，3，4，5，設Y=X-1，則Y可取值是0，1，2，3，4，
因此Y～B$（4，\frac{2}{3}）$，∴$E（Y）=4×\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$，
從而$E（X-1）=\frac{8}{3}$，∴$E（X）=\frac{8}{3}+1=\frac{11}{3}$．
另解：X可取值是1，2，3，4，5，$P（X=1）=C_4^4{（\frac{1}{3}）^4}{（\frac{2}{3}）^0}=\frac{1}{81}$，$P（X=2）=C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}{（\frac{2}{3}）^1}=\frac{8}{81}$，$P（X=3）=\frac{8}{27}$，$P（X=4）=C_4^1{（\frac{1}{3}）^1}{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{32}{81}$，$P（X=5）=C_4^0{（\frac{1}{3}）^0}{（\frac{2}{3}）^4}=\frac{16}{81}$，
∴X分布列是

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{16}{81}$

∴$E（X）=1×\frac{1}{81}+2×\frac{8}{81}+3×\frac{24}{81}+4×\frac{32}{81}+5×\frac{16}{81}=\frac{11}{3}$．

點評 本題考查了隨機變量的二項分別的概率計算公式、分布列及其數學期望、二進制，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．