Question

10．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為1，側(cè)棱長為2，則異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），C₁（0，1，2），B₁（1，1，2），C（0，1，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，1，2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，0，-2），
設(shè)異面直線AC₁與B₁C所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．