Question

對于R上可導的任意函數f（x），若滿足f（x）+xf′（x）＞0且f（-1）=0，則f（x）＞0解集是（　　）

• A、（-∞，-1）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，-1）∪（0，+∞）
• D、（-1，0）

Answer 1

考點：導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：構造函數g（x）=xf（x），求導后由已知可得函數g（x）=xf（x）為單調增函數，再由f（-1）=0，得當x＜-1時，xf（x）＜0，f（x）＞0；當-1＜x＜0時，xf（x）＞0，f（x）＜0；當x＞0時，xf（x）＞0，f（x）＞0．從而求得f（x）＞0的解集．

解答： 解：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
∴函數g（x）=xf（x）為單調增函數，
又f（-1）=0，
∴g（-1）=（-1）•f（-1）=0．
則當x＜-1時，xf（x）＜0，f（x）＞0；
當-1＜x＜0時，xf（x）＞0，f（x）＜0；
當x＞0時，xf（x）＞0，f（x）＞0；
∴f（x）＞0解集是（-∞，-1）∪（0，+∞）．
故選：C．

點評：本題考查了導數的運算，考查了函數構造法，合理構造函數g（x）=xf（x）是解答該題的關鍵，是中檔題．