Question

5．已知函數$f（x）=4sinxcos（{x-\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、零點；
（Ⅱ）求f（x）在區間$[{\frac{π}{24}，\frac{3π}{4}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，令f（x）=0，解得x的值即為零點．
（2）x∈$[{\frac{π}{24}，\frac{3π}{4}}]$上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，即得出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函數$f（x）=4sinxcos（{x-\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}$．
化簡可得：f（x）=4sinx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\sqrt{3}$
=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin²x-$\sqrt{3}$
=sin2x+$2\sqrt{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x）-\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
（Ⅰ）∴函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
令$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）=0$，
即$2x-\frac{π}{3}=kπ，k∈{Z}$
∴函數f（x）的零點是$x=\frac{π}{6}+k\frac{π}{2}，k∈{Z}$．
（Ⅱ）∵$\frac{π}{24}≤x≤\frac{3π}{4}$，
∴$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{7π}{6}$．
∴當$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{4}$，即$x=\frac{π}{24}$時，函數f（x）的最小值為$-\sqrt{2}$；
當$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{5π}{12}$時，函數f（x）的最大值為2．
∴f（x）在區間$[{\frac{π}{24}，\frac{3π}{4}}]$上的最大值為2，最小值$-\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．