Question

19．已知復數z₁=$\frac{2a}{a-1}+（{{a^2}-1}）$i，z₂=m+（m-1）i（i是虛數單位，a，m∈R）
（1）若z₁是實數，求a的值；
（2）在（1）的條件下，若|z₁|＜|z₂|，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知條件可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1=0}\\{a-1≠0}\end{array}\right.$求解得a的值；
（2）由（1）可得z₁=1，再求出|z₂|，結合已知條件可得$\sqrt{{m}^{2}+（m-1）^{2}}＞1$，求解可得答案．

解答 解：（1）∵復數z₁是實數，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1=0}\\{a-1≠0}\end{array}\right.$，解得a=-1；
（2）由（1）可得z₁=1，
∵$|{z}_{2}|=\sqrt{{m}^{2}+（m-1）^{2}}$，
又|z₁|＜|z₂|，∴$\sqrt{{m}^{2}+（m-1）^{2}}＞1$，解得m＜0或m＞1．

點評 本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題．