Question

9．記f（x）=|lnx+ax+b|（a＞0）在區間[t，t+2]（t為正數）上的最大值為M_t（a，b），若{b|M_t（a，b）≥ln2+a}=R，則實數t的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由題意：f（x）=|lnx+ax+b|（a＞0）在區間[t，t+2]（t為正數）上的最大值為M_t（a，b），轉化為f（x）_max={f（t），f（t+2）}，當f（t）=f（t+2）時，則有：-（lnt+at+b）=ln（t+2）+a（t+2）+b，化簡得：
b=$\frac{ln（t+2）+lnt+2a（t+1）}{-2}$，當t＞x₀或t＜x₀時，f（x）_max＞f（t）或f（x）_max＞f（t+2），只需要f（t）≥f（x）_max，可得-（lnt+at+b）≥ln2+a，將b帶入化簡即可得t的最大值．

解答 解：由題意：f（x）=|lnx+ax+b|（a＞0）在區間[t，t+2]（t為正數）上的最大值為M_t（a，b），轉化為f（x）_max={f（t），f（t+2）}，
當f（t）=f（t+2）時，
則有：-（lnt+at+b）=ln（t+2）+a（t+2）+b
那么：b=$\frac{ln（t+2）+lnt+2a（t+1）}{-2}$…①
當t＞x₀或t＜x₀時，
f（x）_max＞f（t）或f（x）_max＞f（t+2）
∴只需要f（t）≥f（x）_max，
即：-（lnt+at+b）≥ln2+a
得：b≤-lnt-at-ln2-a…②
把①式帶入②，
得：lnt+ln（t+2）≥2lnt+2ln2
⇒ln（t+2）≥ln4t
⇒t+2≥4t
⇒t≤$\frac{2}{3}$
故選D．

點評 本題考查了恒等式問題，利用數形結合法，最值的討論，絕對值不等式取等條件，f（t）=f（t+2）是解題的關鍵點．屬于難題．