Question

19．已知曲線C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直線l：$ρ=\frac{6}{2cosθ+sinθ}$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；
（Ⅱ）過曲線C上任一點P作與l夾角為45°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直接轉化為參數(shù)方程，利用極坐標與直角坐標的轉化方法可得直線l的普通方程．
（2）在曲線C上任意取一點P （2cosθ，3sinθ）到l的距離為$d=\frac{{\sqrt{5}}}{5}|{4cosθ+3sinθ-6}|$，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值．

解答 解：（Ⅰ） 曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
直線l的普通方程為：2x+y-6=0                 （5分）
（Ⅱ）在曲線C上任意取一點P （2cosθ，3sinθ）到l的距離為$d=\frac{{\sqrt{5}}}{5}|{4cosθ+3sinθ-6}|$，
則$|PA|=\fracp9vv5xb5{{sin{{45}^0}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}|{5sin（{θ+α}）-6}|$，其中α為銳角．且$tanα=\frac{4}{3}$．
當sin（θ+α）=-1時，|PA|取得最大值，最大值為$\frac{{11\sqrt{10}}}{5}$；
當sin（θ+α）=1時，|PA|取得最小值，最小值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．（10分）

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．