Question

2．如圖，邊長為2的正方形A₁ABB₁所在平面與矩形ABCD所在平面相互垂直，且$AB=\frac{1}{2}BC$，E，F分別是AA₁和BC的中點．
（1）證明：DF⊥平面A₁AF；
（2）求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出A₁A⊥DF，AF⊥DF，由此能證明DF⊥平面A₁AF．
（2）三棱錐C-BDE的體積V_C-BDE=V_E-BCD=V_E-ABD．由此能求出結果．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）如圖，∵平面A₁ABB₁⊥平面ABCD，A₁A⊥AB，
∴A₁A⊥平面ABCD，
∴A₁A⊥DF，…（3分）
∵$AB=\frac{1}{2}BC$，∴AD=BC=4，BF=FC=2，
∵AB=BF=DC=2，∴$AF=DF=2\sqrt{2}$，
∵AD²=AF²+DF²，∴AF⊥DF．
∵A₁A∩AF=A，∴DF⊥平面A₁AF．…（6分）
解：（2）∵E為A₁A的中點，∴AE=1，
∴三棱錐C-BDE的體積${V_{C-BDE}}={V_{E-BCD}}={V_{E-ABD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×AD×AE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×1=\frac{4}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．