Question

17．已知底面邊長為$2\sqrt{3}$的正三棱錐O-ABC的體積為$\sqrt{3}$，且A，B，C在球O上，則球的體積是（　　）

• A． $\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$
• B． 8π
• C． 20π
• D． $4\sqrt{3}π$

Answer 1

分析 正三棱錐的頂點正好是球心，底面為一個小圓，求出小圓半徑、三棱錐的高，可得球的半徑，即可求出球的體積．

解答 解：正三棱錐的頂點正好是球心，底面為一個小圓，因正△ABC的邊長為$2\sqrt{3}$，所以小圓半徑r=2，
又因${V_{O-ABC}}=\sqrt{3}$，所以三棱錐的高h=1，
設球半徑為R，則$R=\sqrt{{r^2}+{h^2}}=\sqrt{5}$，${V_球}=\frac{4}{3}π{R^3}=\frac{4}{3}π×{（\sqrt{5}）^3}=\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$，
故選A．

點評 本題考查球的體積，考查學生的計算能力，求出球的半徑是關鍵．