Question

8．已知存在實數a，使得關于x的不等式$\sqrt{2x}-a≥\sqrt{9-5x}$恒成立，則a的最大值為（　　）

• A． 0
• B． -1
• C． -2
• D． -3

Answer 1

分析 先分離參數，構造函數f（x）=$\sqrt{2x}$-$\sqrt{9-5x}$，求出函數的定義域，并判斷函數的單調性，根據函數的單調性即可求出f（x）_min=f（0）=-3，問題得以解決．

解答 解：關于x的不等式$\sqrt{2x}-a≥\sqrt{9-5x}$恒成立，
則a≤$\sqrt{2x}$-$\sqrt{9-5x}$，
設f（x）=$\sqrt{2x}$-$\sqrt{9-5x}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{2x≥0}\\{9-5x≥0}\end{array}\right.$，
解得0≤x≤$\frac{9}{5}$，
∴f（x）在[0，$\frac{9}{5}$]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（0）=-3，
∴a≤-3，
故a的最大值為-3，
故選：D．

點評 本題考查了不等式恒成立的問題，關鍵是分離參數，構造函數，根據函數的單調性求出函數最值，屬于中檔題．