Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，AD⊥BD，AD=BD=2，E為BD的中點，F為PC的中點．
（1）證明：EF∥平面ADP；
（2）PD=$\sqrt{2}$，求三棱錐F-BDC的體積．

Answer 1

分析 （1）連結AC，推導出EF∥PA，由此能證明EF∥平面ADP．
（2）點F到平面ABCD的距離是$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出三棱錐F-BDC的體積．

解答 證明：（1）如圖，連結AC，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，且E為BD的中點，
∴AC∩BD=E，∴E為AC的中點，
又∵F為PC的中點，
∴EF是△PAC的中位線，∴EF∥PA，
又∵PA?平面ADP，EF?平面ADP，
∴EF∥平面ADP．
解：（2）∵F為PC的中點，∴點F到平面ABCD的距離是$\frac{1}{2}$PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱錐F-BDC的體積V_F-BDC=$\frac{1}{3}×\frac{2×2}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．