Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點分別為（-1，0），（1，0），且經過點（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設經過點（1，0）且不垂直于x軸的直線l與橢圓交于不同的兩點P，Q．求證：在x軸上存在定點N，使得直線NP，NQ的傾斜角互補．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓的定義直接計算可得結論；
（2）設直線l的方程為：y=k（x-1）（k≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{3}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．，x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$…①
設定點N（t，0），t≠x₁，t≠x₂，要使直線NP，NQ的傾斜角互補，必要k_NP+K_NQ=0，
⇒2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0…②，把①代入②得t即可．

解答 解：（1）由橢圓的定義可知：2a=|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+\frac{9}{4}}+\frac{3}{2}=4$
，∴a=2，由c=1得：b=$\sqrt{3}$
故橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（2）設直線l的方程為：y=k（x-1）（k≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{3}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$…①
設定點N（t，0），t≠x₁，t≠x₂
要使直線NP，NQ的傾斜角互補，必要k_NP+K_NQ=0，
y_i（x₂-t）+y₂（x₁-t）=0⇒k（x₁-1）（x₂-t）+k（x₂-1）（（x₁-t）=0
⇒2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0…②
把①代入②得t=4
在x軸上存在定點N（4，0），使得直線NP，NQ的傾斜角互補．

點評 本題主要考查了圓錐曲線中的定點問題，運算能力要求高，屬于壓軸題，