Question

已知x和y滿足（x+1）²+y²=

1

4

，試求：
（1）x²+y²的最值；
（2）x+y的最值．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：由圓的參數方程得

x=-1+ 1 2 cosθ y= 1 2 sinθ

，0≤θ＜2π，由此利用三角函數的性質能求出x²+y²的最值和x+y的最值．

解答： 解：（1）∵x和y滿足（x+1）²+y²=

1

4

，
∴

x=-1+ 1 2 cosθ y= 1 2 sinθ

，0≤θ＜2π，
∴x²+y²=（

1

2

cosθ-1）²+（

1

2

sinθ）²
=

1

4

cos2θ+

1

4

sin2θ-cosθ+1
=

5

4

-cosθ，
∴（x²+y²）_min=

5

4

-1=

1

4

，
（x²+y²）_max=

5

4

+1=

9

4

．
（2）∵

x=-1+ 1 2 cosθ y= 1 2 sinθ

，0≤θ＜2π，
∴x+y=

1

2

sinθ+

1

2

cosθ-1
=

2

2

sin（θ+

π

4

）-1，
∴（x+y）_max=

2

2

-1，
（x+y）_min=-

2

2

-1．

點評：本題考查代數式的最值的求法，是基礎題，解題時要注意圓的參數方程和三角函數的性質的合理運用．