Question

已知過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，且|AB|=

5

2

p，求AB所在的直線方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若AB⊥Ox，則|AB|=2p＜

5

2

p，不合題意．所以直線AB的斜率存在，設為k，則直線AB的方程為y=k（x-

p

2

），k≠0．聯立拋物線方程，結合韋達定理和弦長公式，可得滿足條件的k值，進而得到答案．

解答： 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F（

p

2

，0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若AB⊥Ox，則|AB|=2p＜

5

2

p，不合題意．
所以直線AB的斜率存在，設為k，
則直線AB的方程為y=k（x-

p

2

），k≠0．
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消去x，
整理得ky²-2py-kp²=0．
由韋達定理得，y₁+y₂=

2p

k

，y₁y₂=-p²．
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 1 k2 )(y1-y2)2

=

(1+ 1 k2 )[(y1+y2)2-4y1y2]

=2p（1+

1

k2

）=

5

2

p．
解得k=±2．
∴AB所在的直線方程為y=2（x-

p

2

）或y=-2（x-

p

2

）．

點評：本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，直線與圓錐曲線的關系，難度中檔．