Question

在正方體AC₁中，直線BC₁與平面A₁BD夾角的余弦值為

 

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線BC₁與平面A₁BD夾角的余弦值．

解答： 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
設正方體AC₁的棱長為1，
則B（1，1，0），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），

DA1

=（1，0，1），

DB

=（1，1，0），
設平面DBA₁的法向量

n

=（x，y，z），

n • DA1 =x+z=0 n • DB =x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，-1），
設直線BC₁與平面A₁BD夾角為θ，
又

BC1

=（-1，0，1），
則sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=|

-1+0-1

2 × 3

|=

6

3

，
∴cosθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

．
∴直線BC₁與平面A₁BD夾角的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．