Question

已知數列{a_n}，其前n項和為S_n，滿足2S_n=3a_n-3（n∈N^*）數列{

cn

an

}是等差數列，其第三項和第九項分別是a₁和-a₂
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求數列{c_n}的通項公式及前n項和T_n；
（3）如果對任意的n∈N^*，不等式-t²+at+80≥c_n恒成立，求使關于t的不等式有解的充要條件．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用遞推式的意義、等比數列的通項公式即可得出；
（2）利用等差數列的通項公式與“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出；
（3）對任意的n∈N^*，不等式-t²+at+80≥c_n恒成立?不等式-t²+at+80≥（c_n）_max．由c_n=（9-2n）×3ⁿ．可得（c_n）_max=c₃=c₄=81．-t²+at+80≥81化為t²-at+1≤0有解的充要條件△≥0，解出即可．

解答： 解：（1）∵2S_n=3a_n-3，∴當n≥2時，2S_n-1=3a_n-1-3，
∴2a_n=2S_n-2S_n-1=3a_n-3-（3a_n-1-3），化為a_n=3a_n-1．
當n=1時，2a₁=2S₁=3a₁-3，解得a₁=3．
∴sl{a_n}是等比數列，
an=3×3n-1=3n．
（2）∵數列{

cn

an

}是等差數列，其第三項和第九項分別是a₁和-a₂，設公差為d．
∴

c3

a3

=3，

c9

a9

=-9，
∴-9=3+6d，解得d=-2．
∴

cn

an

=3-2（n-3）=9-2n，
∴c_n=（9-2n）×3ⁿ．
∴T_n=7×3+5×3²+3×3³+…+（11-2n）×3^n-1+（9-2n）×3ⁿ，
3T_n=7×3²+5×3³+…+（11-2n）×3ⁿ+（9-2n）×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=7×3-2×3²-2×3³-…-2×3ⁿ-（9-2n）×3ⁿ⁺¹=27-

2×3(3n-1)

3-1

-（9-2n）×3ⁿ⁺¹=30-（10-2n）×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=（5-n）×3ⁿ⁺¹-15．
（3）對任意的n∈N^*，不等式-t²+at+80≥c_n恒成立?不等式-t²+at+80≥（c_n）_max，
∵c_n=（9-2n）×3ⁿ．c₁=21，c₂=45，c₃=81，c₄=81，當n≥5時，c₅＜0，
∴（c_n）_max=c₃=c₄=81．
∴-t²+at+80≥81，
∴t²-at+1≤0有解的充要條件△≥0，
∴△=a²-4≥0，
解得a≥2或a≤-2．
∴關于t的不等式有解的充要條件是a≥2或a≤-2．

點評：本題考查了遞推式的應用、等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、一元二次不等式的解集與判別式的關系，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．