Question

已知函數f（x）=2sin（ω x-

π

6

）+

1

2

（ω＞0）的最小正周期π
（1）求ω的值
（2）求函數f（x）的對稱中心和單調增區間
（3）求函數f（x）在區間[0，

2π

3

]上的值域．

Answer 1

考點：三角函數的最值,正弦函數的單調性

專題：三角函數的求值

分析：（1）由

2π

ω

=π，解ω即可；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x-

π

6

）+

1

2

，整體法可得對稱中心和單調區間；
（3）由的范圍，結合三角函數的性質逐步計算易得值域．

解答： 解：（1）由題意可得

2π

ω

=π，解得ω=2；
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
由2x-

π

6

=kπ可得x=

kπ

2

+

π

12

，
∴對稱中心為（

kπ

2

+

π

12

，

1

2

），k∈Z
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴單調增區間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z
（3）∵x∈[0，

2π

3

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴2sin（2x-

π

6

）+

1

2

∈[-

1

2

，

5

2

]，
∴函數f（x）在區間[0，

2π

3

]上的值域為[-

1

2

，

5

2

]

點評：本題考查三角函數的周期性和單調性，以及最值，屬基礎題．