Question

如圖，四面體ABCD的每條棱長都等于2，點E，F分別為棱AB，AD的中點，則|

AB

+

BC

|=

 

，|

BC

-

EF

|=

 

，

EF

與

AC

所成的角為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,空間向量及應用

分析：運用向量加法的三角形法則，即可得到向量AC的模；運用向量的平方即為模的平方，結合向量數量積的定義，即可得到|

BC

-

EF

|；求出

EF

•

AC

，再由夾角公式，即可得到．

解答： 解：由于四面體ABCD的每條棱長都等于2，
則|

AB

+

BC

|=|

AC

|=2；
|

BC

-

EF

|²=|

BC

-

1

2

BD

|²=

BC

2-

BC

•

BD

+

1

4

BD

2
=4-2×2×cos60°+

1

4

×4=3，
即有|

BC

-

EF

|=

3

；

EF

•

AC

=

1

2

BD

•（

BC

-

BA

）=

1

2

（

BD

•

BC

-

BD

•

BA

）
=

1

2

（2×2×

1

2

-2×2×

1

2

）=0，
即有

EF

⊥

AC

，
則

EF

與

AC

所成的角為90°．
故答案為：2，

3

，90°．

點評：本題考查空間向量的數量積的定義和性質，考查向量的模的公式，向量垂直的條件，向量夾角的求法，考查運算能力，屬于基礎題．