Question

已知a與b的等差中項為

1

2

，則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①ab≤

1

4

；
②a²+b²≥

1

2

；
③a⁴+b⁴≤1；
④若a＞0，b＞0，則b+2a≥4

2

ab；
⑤若a≥-

1

2

，b≥-

1

2

，則

2a+1

+

2b+1

≤2

2

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：由a與b的等差中項為

1

2

，可得a+b=1．
①利用基本不等式的性質即可得出；
②利用2（a²+b²）≥（a+b）²，即可判斷出；
③取a=2，b=-1，不成立；
④由a＞0，b＞0，利用“乘1法”與基本不等式的性質即可判斷出；
⑤利用

2a+1

+

2b+1

≤

2(2a+1+2b+1)

，即可得出．

解答： 解：∵a與b的等差中項為

1

2

，∴a+b=1．
①當a，b＞0時，1≥2

ab

，∴ab≤

1

4

，當且僅當a=b=

1

2

時取等號，取其它情況時也成立，因此正確；
②∵2（a²+b²）≥（a+b）²=1，∴a2+b2≥

1

2

，當且僅當a=b=

1

2

時取等號，正確；
③取a=2，b=-1，不成立；
④a＞0，b＞0，則(a+b)(

1

a

+

2

b

)=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

b a × 2a b

=3+2

2

，當且僅當b=

2

a=2-

2

時取等號，
∴b+2a≥（3+2

2

）ab≥4

2

ab，因此正確；
⑤∵a≥-

1

2

，b≥-

1

2

，則

2a+1

+

2b+1

≤

2(2a+1+2b+1)

=2

2

，正確．
綜上可得：正確的是①②④⑤．
故答案為：①②④⑤．

點評：本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質，考查了變形能力，屬于基礎題．