Question

12．已知函數f（x）=x³-3x²+2．
（1）求函數的單調區間；  
（2）求函數的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可．

解答 解：（1）由f（x）=x³-3x²+2，所以f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．…（2分）
由f′（x）＞0知：x＜0或x＞2時；由f′（x）＜0知：0＜x＜2時．                              …（5分）
所以，函數f（x）的單調遞增區間是（-∞，0），（2，+∞）．單調遞減區間是（0，2）．    …（6分）
（2）f′（x）=3x²-6x．令f′（x）=0，解得x=2或x=0，…（7分）
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：…（10分）

x	（-∞，0）	0	（0，1）	2	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	2	↓	-2	↑

因此，當x=2時，f（x）有極小值，且 f（2）=-2
當x=0時，f（x）有極大值，且f（0）=2…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．