Question

20．設實系數一元二次ax²+bx+c=0的兩根是x₁、x₂，下列命題中，假命題的序號是（1）（2）
（1）方程可能有兩個相等的虛根
（2）ax²+bx+c=（x-x₁）（x-x₂）
（3）$x_1^2{x_2}+{x_1}x_2^2=-\frac{bc}{a^2}$
（4）若b²-4ac＜0，則x₁-x₂一定是純虛數．

Answer 1

分析 （1）實系數一元二次ax²+bx+c=0的兩根是x₁、x₂，方程可能有兩個共軛虛根，即可判斷出真假．
（2）由ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂），即可判斷出真假．
（3）x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，可得${x}_{1}^{2}{x}_{2}$+${x}_{1}{x}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）•x₁x₂，即可得出．
（4）由b²-4ac＜0，則x₁-x₂一定是純虛數．即可得出．

解答 解：（1）實系數一元二次ax²+bx+c=0的兩根是x₁、x₂，方程可能有兩個共軛虛根，因此是假命題．
（2）由于ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂），因此（2）是假命題．
（3）∵x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴${x}_{1}^{2}{x}_{2}$+${x}_{1}{x}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）•x₁x₂=-$\frac{b}{a}$•$\frac{c}{a}$=$-\frac{bc}{{a}^{2}}$，是真命題．
（4）若b²-4ac＜0，則x₁-x₂一定是純虛數．因此是真命題．
綜上可得：假命題的序號是（1）（2）．
故答案為：（1）（2）．

點評 本題考查了實系數一元二次ax²+bx+c=0的兩根的性質、復數的運算法則及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．